Fondamenti della meccanica atomica
Se si calcola, mediante la (36), l'integrale di ff* esteso a tutto l'intervallo (-l, l), si trova facilmente
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Mediante lo sviluppo di Fourier un pacchetto d'onde si può considerare ottenuto sovrapponendo infiniti treni d'onde monocromatici, di diverso vettore
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Analogamente, secondo la meccanica classica la traiettoria del punto può determinarsi mediante il principio della minima azione
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Dobbiamo anzitutto calcolare la al tempo t, mediante la (154), che, introducendovi l'espressione (166) e ponendo per brevità
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(cioè, come è intuitivo, quelli per cui la, semilunghezza di onda è sottomultipla della lunghezza 2l). Se ne ricavano, mediante la (147), i livelli
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Di qui, mediante la (196), si ricava , o, più comodamente, il suo inverso:
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e di posizione totalmente indeterminata. Esprimendo nella (210) k e v mediante p, essa diviene
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e quindi da mediante
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Essi possono anche venir definiti mediante la derivata l-esima dell'espressione : difatti si ha
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Cenno sui polinomi di Laguerre. — Il polinomio di Laguerre di grado K, che si indica con , è definito mediante la formula
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È interessante farsi, mediante le formule precedenti, un'idea intuitiva del modo come è distribuita intorno al nucleo la funzione uu* cioè la «nuvola
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L'equazione lineare del 2° ordine (291) si può trasformare in una del 1° ordine, ma non lineare (del tipo di Riccati) mediante la trasformazione, ben
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Da ciascuna delle due Y cosi trovate si otterrà, mediante la (293), un integrale (approssimato) della (291), e quindi un integrale qualsiasi di
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dove è una costante (). L'equazione di Schrödinger si può allora integrare rigorosamente, e la u si trova espressa mediante una funzione di Bessel, o
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, mediante una lettera minuscola designante il valore del quanto azimutale l preceduto da un numero indicante il quanto totale: il quanto azimutale è
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che abbiamo già dimostrato al § 50 mediante la meccanica ondulatoria: inoltre, si ritrovano le regole di polarizzazione enunciate al § 50.
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ed esprimendo le frequenze mediante le lunghezze d'onda,
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Se poi è dato un certo numero n di vettori nello spazio funzionale , tutti i vettori ottenibili da essi mediante una combinazione lineare a
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Riferendosi agli assi la lunghezza del vettore f può essere calcolata mediante la formula
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mediante le componenti di f e di g con la formula
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e calcoliamo mediante la (23) l'elemento generico della matrice prodotto :
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componenti rispetto agli assi mediante la matrice (cioè mediante la sostituzione lineare (32)). Similmente, la matrice fa passare dalle componenti alle
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Supponiamo che, dopo essere passati dal riferimento y al riferimento mediante la matrice , si passi ad un terzo riferimento (completo e ortogonale
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la quale, confrontata con la (35), mostra che si passa dalle f alle f" mediante la matrice nel modo stesso con cui la matrice fa passare dalle f alle
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Ora si sostituiscano per e le loro espressioni mediante le y, cioè (v. (32))
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Mediante questa matrice, si passa dalle componenti del vettore f alle componenti rispetto ai nuovi assi dello stesso vettore, mediante la formula
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e, mediante questa matrice continua, si ottengono le componenti del vettore F da quelle di F con la formula, analoga alla (22),
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dove il fattore , è stato determinato mediante la condizione di normalizzazione.
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Calcoliamo ora la stessa probabilità mediante il principio di sovrapposizione: se si decompone la in integrale di FOURIER (considerandola solo come
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Riassumendo, il principio generale della meccanica quantistica si può enunciare così. Una volta determinato, o mediante la regola data sopra o
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La regola data al § precedente per trovare l'operatore corrispondente a una data osservabile G suppone che questa venga espressa mediante le
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Possiamo ritrovare facilmente, mediante il teorema ora dimostrato, il fatto ben noto che una coordinata cartesiana e la corrispondente componente
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trasformando la hamiltoniana (138) in operatore mediante la solita sostituzione (S) di pagina 338, cioè ponendo
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dall'operatore (corrispondente secondo la regola del § 22 all'osservabile A) mediante la formula
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Da queste formule, mediante la (158), o la (158'), si ricavano le espressioni degli elementi non nulli della matrice , che risultano
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mediante la loro espressione ondulatoria (v. (147)):
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La funzione , che rappresenta l'effetto della perturbazione su , si potrà poi sviluppare in serie mediante le autofunzioni imperturbate (che formano
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Determinata così la matrice di trasformazione , ricordiamo che i versori degli assi ruotati si ottengono da quelli degli assi primitivi mediante la
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Questa si potrà sviluppare mediante le funzioni ortogonali ; avremo
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Supponiamo che per t = 0 lo stato del sistema sia rappresentato da una certa da considerarsi nota, che, sviluppata in serie mediante le , sia
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Difatti, la forza viva è , l'energia intrinseca è , quella elettrostatica : l'energia totale è dunque . Per esprimerla mediante le pk, si noti che da
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) mediante la formula (264), introducendovi le e definite nel § precedente mediante le (275): avremo, usando le (267):
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mediante e , poichè le
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formando, con queste espressioni di e , le mediante la formula (307), si vede che gli esponenti si elidono e la funzione arbitraria scompare.
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Scriviamo l'equazione di Dirac nella forma (300), sostituendovi le con le e la con una nuova funzione ; avremo, esplicitando gli operatori mediante
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Allora e si possono esprimere mediante queste nuove combinazioni, e divengono:
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dove i coefficienti sono ottenuti (v. § 39) mediante i quattro sistemi di equazioni lineari:
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Per calcolare le , calcoliamo, mediante le (391), le autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro coppie di valori (393) per ed ; otteniamo:
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Variando V mediante il potenziometro, si regola quindi a piacere la velocità v.
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Se invece si caratterizza la radiazione mediante la lunghezza d'onda λ, allora la relazione (23') va sostituita con la seguente
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Accademia della crusca
